Laurent Lafforgue 2/5 : Les mathématiques et le Logos

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Nicolas d’Eschaud : Selon vous, le mathématicien peut-il du moins participer à la Création de Dieu, par son activité même, en travaillant dans ce que vous appelez un « univers minéral », composé de beaucoup de lignes et de formules ?

 

Laurent Lafforgue  : Il ne faut pas réduire les mathématiques aux lignes et aux formules. En fait, les textes mathématiques consistent principalement en des mots et des phrases. La proportion des mots et des phrases, d’une part ; des formules, d’autre part, va varier suivant les domaines des mathématiques, suivant les disciplines. Mais de manière générale, quand vous prenez un article de mathématiques, même s’il y a beaucoup de formules, elles sont toujours présentées. Les formules portent sur des objets mathématiques qu’il a d’abord fallu définir avec des mots. Et il existe même des textes mathématiques, y compris parmi les plus importants, qui ne comportent aucune formule, qui sont exclusivement constitués de mots. Je vais prononcer une formule un peu provocante, mais qui, pour moi, a une certaine réalité : « les mathématiques font partie de la littérature ». Les mathématiques sont d’abord des textes, et même des récits. Un article de mathématiques est une histoire qu’on raconte. On introduit des protagonistes, et puis on les laisse interagir entre eux, on décrit leur histoire. C’est un récit au sens qu’il y a une orientation dans le temps, il y a une logique, une progression, et il y a même une chute. Et il en est ainsi à tout niveau des mathématiques, pour des articles extrêmement sophistiqués comme pour des problèmes élémentaires. J’aimais beaucoup les problèmes du certificat d’études d’autrefois, les problèmes « d’arithmétique » comme on disait, dans lesquels était posée une question en termes élémentaires, et il s’agissait de répondre à la question, de la traduire en termes mathématiques, de la résoudre par un raisonnement en plusieurs étapes. Il fallait trouver ces étapes, les expliquer, les raconter. D’ailleurs, ce n’était pas « trouver d’abord, raconter ensuite », parce qu’il faut bien se rendre compte que la découverte et le récit sont simultanés, c’est-à-dire que la découverte se fait en suivant un chemin. C’est ce chemin-là, ce voyage que l’on va raconter au fil de la page. Et en même temps, ce n’est pas seulement un voyage qu’on raconte, c’est le récit que l’on fait sur la page qui lui-même est ce voyage. Là, je suis en train de parler du rapport entre les mathématiques et le langage. Je pense que, si vous voulez, je suis en train de dire que les mathématiques font partie du Logos.

 

N.E. : Et ce récit, quel but se donne-t-il à lui-même ? Doit-il expliciter le Logos ? Doit-il expliciter le réel ? Ou au contraire doit-il créer des représentations à travers un langage qui au fond n’est pas si naturel, qui est défini de manière artificielle dans des bureaux ... ? Est-ce qu’il est d’avantage un récit de la représentation du monde ou un récit d’explicitation de ce monde ?

 

L.L.  : Cela dépend des personnes. J’appartiens à une famille de mathématiciens pour laquelle un mot extrêmement important est le mot « naturel ». Nous recherchons des choses naturelles, c’est-à-dire des choses qui, une fois qu’elles ont été trouvées, donnent l’impression de s’être imposées par elles-mêmes. Des choses que l’on n’a pas choisies. Les meilleures mathématiques sont des mathématiques qui, lorsqu’on les lit, ou lorsqu’on les découvre quand il s’agit de celui qui les découvre, donnent le sentiment à chaque instant de s’imposer d’elles-mêmes. Ça ne veut pas dire qu’elles ont été faciles à trouver. Bien souvent, les choses les plus évidentes, celles qui une fois dites paraissent les plus naturelles justement, ces choses-là ont pu prendre des siècles, des millénaires avant d’être formulées. D’une certaine manière, en mathématiques, mais certainement aussi ailleurs, il n’y a rien de plus difficile que la simplicité.

Les positions vont dépendre des mathématiciens. Je me souviens avoir entendu une conférence faite par un mathématicien qui comparait la manière dont deux grands génies des mathématiques, à savoir Henri Poincaré [1] et Alexandre Grothendieck [2], parlaient du processus créateur. Et il y a un mot qu’Henri Poincaré utilise souvent, c’est le mot « d’invention ». Henri Poincaré à l’origine n’est pas un mathématicien, c’est un ingénieur. Au contraire, Grothendieck ne parle jamais d’invention, ou plus exactement, s’il en parle, il en parle avec un sens négatif : selon lui, un mathématicien qui cherche à inventer fait une œuvre mauvaise. Il privilégie le terme de « découverte » parce qu’il s’agit de trouver des choses qui en quelque sorte existent déjà mais sur lesquelles il s’agit de mettre des mots pour ainsi les voir, les saisir, les manipuler, mais d’abord les voir. Les choses sont là, mais nous ne les voyons pas, et, pour les voir, nous avons besoin de les nommer. Pour Grothendieck, l’activité la plus humaine, qui s’est réalisée pour lui dans les mathématiques, est l’acte de nommer. Et voilà que Grothendieck, qui a été élevé dans un milieu hostile à toute religion – bien qu’il s’est tourné de plus en plus vers la spiritualité et les religions – nous ramène à la Genèse, quand Dieu crée l’homme, et qu’Il lui demande avant toute chose de donner un nom à ce qu’il voit. Or, en mathématiques, dit-il justement, c’est ce que lui-même fait. On n’est pas du tout dans l’utilisation mécanique des mathématiques que dénonçait Simone Weil. Il y a même une certaine correspondance entre la pensée de Grothendieck et celle de Simone Weil, bien que je pense que Grothendieck n’avait jamais lu Simone Weil, qu’il ne cite du moins jamais – même s’il connaissait André Weil qu’il avait fréquenté dans le séminaire Bourbaki [3] ou ailleurs.

Le congrès Bourbaki de 1938. De gauche à droite : Simone Weil, Charles Pisot, André Weil, Jean Dieudonné, Claude Chabauty, Charles Ehresmann et Jean Delsarte.

Simone Weil condamnait l’algèbre et exaltait la géométrie. On peut retrouver dans l’œuvre immense de Grothendieck qui vise notamment à « géométriser » l’algèbre tout autant la prévention de Simone Weil pour la première discipline que son admiration pour la deuxième. Grothendieck n’a pas d’hostilité proclamée pour l’algèbre, mais il cherche à la transformer. Il faut dire évidemment qu’il avait une puissance mathématique que Simone Weil n’avait pas. Lui, il avait les moyens de faire ça. Mais ce qu’il y a en commun chez eux, c’est, finalement, ce même souci d’humanisation. Simone Weil dénonçait dans le règne de l’algèbre une mécanisation, une déshumanisation de la science, et donc de l’homme étant donné le poids que la science et la technique ont dans le monde moderne. Grothendieck, de son côté, est devenu très critique vis-à-vis du monde techno-scientifique. Mais avant même qu’il n’exprime de telles critiques, à l’époque où il se livrait à la recherche mathématique douze heures par jour, 365 jours par an, il y a chez lui, un effort surhumain pour en quelque sorte « ré-humaniser » les mathématiques au sens où Simone Weil pouvait le penser.

 

Gauthier Boisbay : Est-ce que certaines branches mathématiques ont actuellement perdu leur sens et sont loin de l’humanisation voulue par Grothendieck ?

 

L.L.  : C’est difficile à dire et si je le dis, je ne vais pas me faire des amis. Non, aujourd’hui, je pense que les sciences en général, les mathématiques en particulier, sont dans une crise vraiment profonde et je pense que la raison la plus profonde de cette crise est la perte du sens de la « Vérité » dont je parlais tout à l’heure. Mais il y a également toute une série de transformations. Je parle du rapport à la Vérité, mais d’autres choses sont importantes, comme le rapport au langage et le rapport à la pensée. Nous sommes dans un temps où sont privilégiés les résultats. Il faut démontrer des résultats et si possible des résultats spectaculaires. Si on démontre un résultat spectaculaire, on est une vedette. Il y a un texte impressionnant de Grothendieck, écrit il y a quarante ans, où il dit qu’on entre dans un temps où le fait même d’avoir une pensée ne sera plus valorisé, mais rendra au contraire suspect celui qui prétendra l’avoir. Grothendieck lui-même est quelqu’un qui a une pensée, une pensée extrêmement profonde, extrêmement frappante : une pensée à la fois très unie et capable de s’adapter aux différentes situations. Mais, aujourd’hui, en mathématiques, c’est impossible, en particulier pour les plus jeunes, sous peine de subir les pires persécutions, de montrer qu’on a une pensée. Ce qu’on attend de vous, ce n’est pas que vous ayez une pensée mais que vous démontriez des résultats. Et je pense que c’est une dérive très profonde des mathématiques et de la science, même une sorte d’auto-destruction. Simone Weil dénonçait la mécanisation. Quand on demande aux gens de démontrer des résultats spectaculaires, on veut des critères objectifs, donc finalement inhumains. Évidemment, l’évaluation d’une pensée, le fait de reconnaître, par exemple, une théorie naissante ou la pensée de la personne qui développe cette théorie demande un jugement beaucoup plus subtil. Et le jugement, la capacité de jugement, est une capacité proprement humaine. Derrière la dévalorisation de la pensée – voire son bannissement – et, au contraire, la valorisation des résultats, il y a une déshumanisation.

 

J’ai aussi mentionné le rapport au langage, c’est un fait aujourd’hui : tout le monde écrit mal. Quand on regarde la manière dont écrivaient les gens du XIX^e siècle ou encore du début du XX^e siècle, ou la manière dont Grothendieck, pour qui le français n’est pas la langue maternelle, lui-même écrit, on s’aperçoit qu’énormément a été perdu. Aujourd’hui, beaucoup de scientifiques, y compris parmi les mathématiciens, considèrent que l’apprentissage des lettres est inutile. Pourtant, la tradition scientifique européenne a voulu pendant des siècles que tout le monde soit formé par les études classiques. On pouvait plus tard devenir scientifique, mais la formation fondamentale était une formation par les études classiques. En 2015, j’avais l’occasion de donner une conférence avec un mathématicien devenu philosophe, Olivier Rey, quelqu’un de vraiment remarquable, qui écrit d’excellents livres. Il donnait une conférence où il s’agissait justement de défendre l’enseignement du latin. Et Olivier Rey, qui est quelqu’un de très érudit, est arrivé avec un certain nombre de citations, en particulier une citation de Lagrange [4] qui se trouvait connaître le père de Cauchy [5]. Or le jeune Cauchy montrait des dispositions extraordinaires pour les mathématiques et pour les sciences. Son père a donc demandé à Lagrange, l’un des plus grands mathématiciens de son temps, que faire. Et Lagrange de lui conseiller : « pour le moment, faites-lui étudier du latin et du grec, ensuite, il pourra toujours faire des mathématiques ». C’est ainsi que Cauchy a fait du latin et du grec jusqu’à la fin de l’adolescence avant de se tourner vers les mathématiques. À l’époque, c’était une évidence pour toutes ces personnes, y compris un homme de science comme Lagrange. Et évidemment, ces scientifiques – qui avaient d’abord été formés de cette manière-là, qu’ils soient croyants ou non, et qui grandissaient dans une société qui n’était pas sécularisée comme celle d’aujourd’hui – avaient du recul. Ils avaient été confrontés à des grands penseurs, tant dans le domaine littéraire que scientifique, et ils connaissaient la signification concrète du mot « transcendance » : autant de raisons qui faisaient qu’il n’était pas question pour eux de devenir de purs techniciens dans le domaine scientifique.

 

 

G.B. : Comment expliquez-vous que des personnes consacrent leur vie à la recherche scientifique sans accorder de valeur à la Vérité ?

 

L.L.  : Mystère. Mystère. L’une des pistes de réponse est qu’il ne faut pas toujours croire ce que les gens disent. Si vous prenez la parabole du Christ, au sujet du père qui demande à ses deux fils d’aller travailler à sa vigne : l’un dit « non » mais y va quand même, l’autre dit « oui » et n’y va pas. Même mes collègues qui ne supportent pas le mot « Vérité » sont quand même, dans une certaine mesure, des serviteurs de la Vérité.

 

N.E. : N’y a-t-il pas de toutes les manières un acte de foi à poser dans un certain nombre de vérités primitives, de propositions que l’on doit tenir pour vrai absolument ? N’est-ce pas déjà un saut dans le vide ? On pourrait très bien décider de refuser un certain nombre de propositions.

 

L.L.  : Il y a toujours des a priori, effectivement. Tout à l’heure, je citais l’encyclique Fides et Ratio, « l’homme est l’être qui cherche la Vérité », l’homme est aussi un être de foi. En fait, il est toujours en train de croire quelque chose, même s’il ne se rend pas compte, et surtout s’il ne s’en rend pas compte. Disons que l’acte de foi est dans ce qui met en marche, mais il est aussi présent à chaque instant dans la marche. Si la foi n’était pas présente, de toute façon, rien n’avancerait. J’ai parlé de cette chose étonnante dont les mathématiciens font chaque jour l’expérience, qui est la richesse du monde mathématique. Mais, à chaque fois que vous êtes en train de chercher sur le plan mathématique, vous postulez l’existence de cette richesse. Donc l’acte de foi est présent. Il m’est difficile d’être dans la tête des gens, mais je suis tenté de conclure, en me fondant simplement sur les actions des gens, que les choses dans leur tête sont plus compliquées que ce qu’ils en disent. A contrario, on peut peut-être se demander si les chrétiens se détournent des sciences, des mathématiques par manque de foi. Je ne suis pas en train de dire que les autres ont davantage de foi que les chrétiens, mais plutôt que ceux qui prétendent n’avoir pas de foi du tout, en ont peut-être plus qu’ils ne le pensent. Et que les personnes qui pensent avoir la foi, ne l’ont peut-être pas aussi forte que ce qu’elles pensent. Cela s’applique donc aussi à moi, alors... (Rires)

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